Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6與x軸相交A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）若點(diǎn)E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，垂足為F，當(dāng)PE﹣2EF取得最大值時(shí)，在拋物線y的對稱軸上找點(diǎn)M，在x軸上找點(diǎn)N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出該最小值及點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，將拋物線y沿射線BP′的方向平移得到新的拋物線y′，當(dāng)y′經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)停止平移，將△BCN沿CN邊翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，B′C與x軸交于點(diǎn)K，若拋物線y′的對稱軸上有點(diǎn)R，在平畫內(nèi)有點(diǎn)S，是否存在點(diǎn)R、S使得以K、B′、R、S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值為9；（2）（，﹣）或（﹣，）；

【解析】

（1）過點(diǎn)B作直線HB與x軸的夾角為45°，則直線HB的表達(dá)式為：y＝x﹣12，過點(diǎn)C作CH⊥BH于點(diǎn)H，交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為所求，即可求解；

（2）分B′K為菱形的一條邊、B′K為菱形的一條對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6與x軸相交A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，

則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6），

則直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+6，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+6），則點(diǎn)E（x，﹣x+6），

PE﹣2EF＝yP﹣3yE＝﹣x2+x+6﹣3（﹣x+6）＝﹣x2+3x﹣12，

當(dāng)x＝9時(shí)，PE﹣2EF有最大值，此時(shí)，點(diǎn)P（9，6），

即點(diǎn)C是點(diǎn)P關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)，

過點(diǎn)B作直線HB與x軸的夾角為45°，則直線HB的表達(dá)式為：y＝x﹣12…①，

過點(diǎn)C作CH⊥BH于點(diǎn)H，交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為所求，

BH＝BN，PM+MN+NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即為最小值，

同理直線CH的表達(dá)式為：y＝﹣x+6…②，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝6，故點(diǎn)N（6，0），

聯(lián)立①②并解得：x＝9，故點(diǎn)H（9，﹣3），

PM+MN+NB的和最小值＝CH＝ ＝9；

（2）存在，理由：

y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，

點(diǎn)P（9，6），則點(diǎn)P′（9，﹣6），

則直線BP′表達(dá)式中的k值為：2，

設(shè)拋物線向左平移m個(gè)單位，則向下平移2m個(gè)單位，

則y′＝﹣（x﹣+m）2++2m，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：m＝3，

則y′＝﹣x2+x+3，令y′＝0，則x＝﹣3或6，故點(diǎn)N（6，0），

函數(shù)的對稱軸為：x＝，

同理可得：直線CN的表達(dá)式為：y＝﹣x+6，直線BB′的表達(dá)式為：y＝x﹣12，

聯(lián)立上述兩式并解得：x＝9，

即交點(diǎn)坐標(biāo)為：（9，﹣3），該點(diǎn)是點(diǎn)B（12，0）和點(diǎn)B′的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)公式可得：點(diǎn)B′（6，﹣6），

同理可得：直線CB′的表達(dá)式為：y＝﹣2x+6，令y＝0，則x＝3，故點(diǎn)K（3，0），

設(shè)點(diǎn)S（m，n），點(diǎn)R（，s），而點(diǎn)B′、K的坐標(biāo)分別為：（12，0）、（3，0）；

①當(dāng)B′K為菱形的一條邊時(shí)，

點(diǎn)K向右平移3個(gè)單位向下平移6個(gè)單位得到B′，

同樣，點(diǎn)R（S）向右平移3個(gè)單位向下平移6個(gè)單位得到S（R），

即+3＝m，s﹣6＝n或﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，

解得：m＝或﹣，n＝﹣或，

即點(diǎn)S的坐標(biāo)為：（，﹣）或（﹣，）；

②當(dāng)B′K為菱形的一條對角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：6+3＝m+，s﹣6＝n，且KR＝B′R，

即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，

解得：m＝，故點(diǎn)P（，﹣）．