Question

【題目】如圖，D是正△ABC的外接圓⊙O上弧AB上一點，給出下列結論：①∠BDC=∠ADC=60°；②AEBE=CEED；③CA2=CECD；④CD=BD+AD．其中正確的個數(shù)是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

Answer 1

【答案】A

【解析】

試題分析：連接AD，根據(jù)等邊三角形的性質得到∠BAC=∠ABC=60°，由圓周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，于是得到∠BDC=∠ADC=60°，故①正確；根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，推出△BDE∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質即可得到AEBE=CEED；故②正確；由于∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，得到△ACD∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質得到CA2=CECD；故③正確；在CD上截取CF=BD，通過△ABD≌△ACF，得到AD=AF，推出△ADF是等邊三角形，得到DF=AD，等量代換即可得到結論．

解：連接AD，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠ADC=60°，故①正確；

∵∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，

∴△BDE∽△ACE，

∴，

∴AEBE=CEED；故②正確；

∵∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，

∴△ACD∽△ACE，

∴，

∴CA2=CECD；故③正確；

在CD上截取CF=BD，

在△ABD與△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF，

∴AD=AF，

∵∠ADC=60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∴DF=AD，

∵CD=CF+DF，

∴CD=BD+AD．故④正確．

故選A．