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        1. 問題情境:如圖①,在△ABD與△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易證:△ABD≌△CAE.(不需要證明)
          特例探究:如圖②,在等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上,且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F.求證:△ABD≌△CAE.
          歸納證明:如圖③,在等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊CB、BA的延長(zhǎng)線上,且BD=AE.△ABD與△CAE是否全等?如果全等,請(qǐng)證明;如果不全等,請(qǐng)說明理由.
          拓展應(yīng)用:如圖④,在等腰三角形中,AB=AC,點(diǎn)O是AB邊的垂直平分線與AC的交點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在OB、BA的延長(zhǎng)線上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度數(shù).
          分析:特例探究:利用等邊三角形的三條邊都相等、三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)推知AB=AC,∠DBA=∠EAC=60°,然后結(jié)合已知條件BD=AE,利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△CAE.
          歸納證明:△ABD與△CAE全等.利用等邊三角形的三條邊都相等、三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)以及三角形外角定理推知AB=AC,∠DBA=∠EAC=120°,然后結(jié)合已知條件BD=AE,利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△CAE;
          拓展應(yīng)用:利用全等三角形(△ABD≌△CAE)的對(duì)應(yīng)角∠BDA=∠AEC=32°,然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度數(shù).
          解答:特例探究:
          證明:∵△ABC是等邊三角形,
          ∴AB=AC,∠DBA=∠EAC=60°,
          在△ABD與△CAE中,
          AB=CA
          ∠DBA=∠EAC
          BD=AE
          ,
          ∴△ABD≌△CAE(SAS);

          解:歸納證明:△ABD與△CAE全等.理由如下:
          ∵在等邊△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠BAC=60°,
          ∴∠DBA=∠EAC=120°.
          在△ABD與△CAE中,
          AB=CA
          ∠DBA=∠EAC
          BD=AE
          ,
          ∴△ABD≌△CAE(SAS);

          拓展應(yīng)用:∵點(diǎn)O在AB的垂直平分線上,
          ∴OA=OB,
          ∴∠OBA=∠BAC=50°,
          ∴∠EAC=∠DBC.
          在△ABD與△CAE中,
          AB=CA
          ∠DBA=∠EAC
          BD=AE
          ,
          ∴△ABD≌△CAE(SAS),
          ∴∠BDA=∠AEC=32°,
          ∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).在證明兩個(gè)三角形全等時(shí),一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•連云港)小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究:
          問題情境:如圖1,四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:S四邊形ABCD=S△ABF(S表示面積)

          問題遷移:如圖2:在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P.過點(diǎn)P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N.小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn),△MON的面積存在最小值,請(qǐng)問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí),△MON的面積最小,并說明理由.

          實(shí)際應(yīng)用:如圖3,若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情,防疫部門計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線,建立一個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測(cè)得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,試求△MON的面積.(結(jié)果精確到0.1km2)(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,
          3
          ≈1.73)
          拓展延伸:如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為(6,0)(6,3)(
          9
          2
          ,
          9
          2
          )、(4、2),過點(diǎn)p的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交,將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形,求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•廣陽(yáng)區(qū)一模)問題情境:
          如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE并延長(zhǎng),交射線DC于點(diǎn)F,將△ABE沿直線AE翻折,點(diǎn)B坐在點(diǎn)B′處.
          自主探究:
          (1)當(dāng)
          BE
          CE
          =1時(shí),如圖1,延長(zhǎng)AB′,交CD于點(diǎn)M.
               ①CF的長(zhǎng)為
          6
          6
          ;
               ②求證:AM=FM.
          (2)當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在對(duì)角線AC上時(shí),如圖2,此時(shí)CF的長(zhǎng)為
          6
          2
          6
          2
          ,
          BE
          CE
          =
          2
          2
          2
          2

          拓展運(yùn)用:
           (3)當(dāng)
          BE
          CE
          =2時(shí),求sin∠DAB′的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問題情境:如圖1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,可知:∠BAD=∠C(不需要證明);
          特例探究:如圖2,∠MAN=90°,射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點(diǎn)F,BD⊥AE于點(diǎn)D.證明:△ABD≌△CAF;
          歸納證明:如圖3,點(diǎn)B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E,F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
          拓展應(yīng)用:如圖4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,則△ACF與△BDE的面積之和為
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          5

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問題情境:如圖1,直角三角板ABC中,∠C=90°,AC=BC,將一個(gè)用足夠長(zhǎng)的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上,再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn).
          問題探究:
          (1)在旋轉(zhuǎn)過程中,
          ①如圖2,當(dāng)AD=BD時(shí),線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
          ②如圖3,當(dāng)AD=2BD時(shí),線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
          ③根據(jù)你對(duì)①、②的探究結(jié)果,試寫出當(dāng)AD=nBD時(shí),DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為
           
          (直接寫出結(jié)論,不必證明)
          (2)當(dāng)AD=BD時(shí),若AB=20,連接PQ,設(shè)△DPQ的面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,S是否存在最小值或最大值?若存在,求出最小值或最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

          問題情境:如圖1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,可知:∠BAD=∠C(不需要證明);
          特例探究:如圖2,∠MAN=90°,射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點(diǎn)F,BD⊥AE于點(diǎn)D.證明:△ABD≌△CAF;
          歸納證明:如圖3,點(diǎn)B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E,F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
          拓展應(yīng)用:如圖4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,則△ACF與△BDE的面積之和為________.

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