Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點(diǎn)O畫圓，使⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的序號(hào)是

 

（多填或錯(cuò)填得0分，少填酌情給分）．
①AO=2CO；②AO=BC；③以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；④延長(zhǎng)BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)．

Answer 1

分析：連接OB，可得∠ABO=30°，則∠OBC=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OC=

1

2

OB=

1

2

OA，再根據(jù)三角函數(shù)cos∠OBC=

BC

OB

，則BC=

3

2

OB，因?yàn)辄c(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分．

解答：解：連接OB，∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

OA，
即OA=2OC，
故①正確；
∵cos∠OBC=

BC

OB

，
∴BC=

3

2

OB，
即BC=

3

2

OA，
故②錯(cuò)誤；
∵∠ABO=∠OBC=30°，
∴點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，
∴點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，
即以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；
故③正確；
延長(zhǎng)BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴

AD

=

AB

=

BD

，
∴點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分．
故④正確．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和垂徑定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．