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          14、如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE；
          證明：AE=AF．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：根據(jù)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則其兩組對(duì)邊的平方和相等，PA2+BF2=PB2+AF2；PB2+CD2=PC2+BD2，PC2+AE2=PA2+CE2；
          代入BD=BF，CD=CE得：AE=AF．
          解答：證明：
          如圖，若四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則其兩組對(duì)邊的平方和相等．
          連PA，PB，PC，
          則有PA2+BF2=PB2+AF2；
          PB2+CD2=PC2+BD2，
          PC2+AE2=PA2+CE2；
          三式相加得AE2+CD2+BF2=AF2+CE2+BD2，
          利用條件BD=BF，CD=CE，
          代入上式，得AE=AF．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用，本題中準(zhǔn)確的計(jì)算AE2+CD2+BF2=AF2+CE2+BD2是證明AE=AF的關(guān)鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．
          （1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)；
          （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
          ①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
          ②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．
          證明：AE=AF．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．
              
          （1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，請(qǐng)證明E是△ABC的自相似點(diǎn)．
              
          （2）如圖③，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，
              
          則∠A：∠B：∠C=    ．
                                      
                                                  
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省初賽試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．
          證明：AE=AF．

          

			
          

			
          
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