Question

（2013•安徽模擬）（1）圖①至圖③中，AB=

2

，旋轉角∠CAB=30°．
思考：
如圖①，當線段AB繞點A旋轉至AC的位置時，則點B所經過的路徑長為

2 π

6

；圖中陰影部分的面積為

π

6

；

探究一
如圖②，當線段AB變?yōu)橐訟B為直徑的半圓時，將其繞點A旋轉至圖②中位置，則圖中陰影部分的面積為

π

6

；
如圖③，當線段AB變?yōu)榈妊�直角三角形ADB時，∠ADB=90°，將其繞點A旋轉，使點B到點C，點D到點E．求圖中陰影部分的面積S．
（2）探究二
圖④中，一個不規(guī)則的圖形，其中AB=a，AD=b，點B旋轉到點C，旋轉角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），點D旋轉到點E，則點B所經過的路徑長為

nπa

180

；圖中陰影部分的面積為

nπ(a2-b2)

360

．

Answer 1

分析：（1）利用弧長公式直接求出點B所經過的路徑長即可；再利用扇形面積公式求出圖中陰影部分的面積；
探究一：當線段AB變?yōu)橐訟B為直徑的半圓時，S=S_半圓+S_扇形CAB-S_半圓=S_扇形CAB即可求出；如圖③：S=S_△AEC+S_扇形CAB-S_△ADB，求出即可；
（2）探究二：根據AB=a，旋轉角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），利用弧長公式求出，再利用圖中陰影部分的面積為S_扇形CAB-S_扇形DAE求出即可．

解答：解：（1）思考：如圖①，
∵AB=

2

，旋轉角∠CAB=30°，
∴線段AB繞點A旋轉至AC的位置時，則點B所經過的路徑長為：

30π× 2

180

=

2 π

6

，
陰影部分的面積為：

30π×( 2 )2

360

=

π

6

；
故答案為：

2 π

6

，

π

6

；

探究一：
如圖②，當線段AB變?yōu)橐訟B為直徑的半圓時，將其繞點A旋轉至圖②中位置，則圖中陰影部分的面積為：
S=S_半圓+S_扇形CAB-S_半圓=S_扇形CAB=

π

6

；
故答案為：

π

6

；

如圖③：
S=S_△AEC+S_扇形CAB-S_△ADB，
∵△ADB≌△AEC；
∴S=S_扇形CAB，
=

30π( 2 )2

360

=

π

6

；
故答案為：

π

6

．

（2）探究二：
∵AB=a，旋轉角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），
∴點B所經過的路徑長為：

nπa

180

，
圖中陰影部分的面積為：S_陰=S_{不規(guī)則圖形}+S_扇形CBA-S_{不規(guī)則圖形}-S_扇形DEA=S_扇形CAB-S_扇形DAE=

nπ(a2-b2)

360

．
故答案為：

nπa

180

，

nπ(a2-b2)

360

．

點評：此題主要考查了弧長公式的應用以及扇形面積公式的應用，根據圖象得出S=S_扇形CAB，以及S=S_扇形CAB-S_扇形DAE是解題關鍵．