Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)D(0，3)，過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AD、CD，若點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與頂點(diǎn)C不重合），當(dāng)△ADE與△ACD面積相等時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），過點(diǎn)P向CD所在的直線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），（-1,4） （2）(-2，3)，，

（3）(-4，-5)，(，)

【解析】

（1）將A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直線AD的解析式，分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E，利用△ADE與△ACD面積相等，得出直線EC和直線EH的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3) （3）分兩種情況討論：①點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)；②點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè).

（1）設(shè)拋物線的解析式為，

∵拋物線過點(diǎn)A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，

∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，

∴拋物線解析式為，頂點(diǎn)C（-1,4）；

（2）如圖1，∵A(-3，0)，D(0，3),

∴直線AD的解析式為y=x+3，

設(shè)直線AD與CH交點(diǎn)為F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1，2)

∴CF=FH，

分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E，

由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知，△ADE與△ACD面積相等，

∴直線EC的解析式為y=x+5，

直線EH的解析式為y=x+1，

分別與拋物線解析式聯(lián)立，得，，

解得點(diǎn)E坐標(biāo)為(-2，3)，，；

（3）①若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)（如圖2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，

∴，

分別過點(diǎn)C、P作x軸的平行線，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交點(diǎn)為M和N，

由△CQM∽△QPN，

得=2，

∵∠MCQ=45°，

設(shè)CM=m，則MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-m-1，4-3m)，

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，

解得m=3，或m=0(與點(diǎn)C重合，舍去)

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，-5)；

②若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

∴，

延長(zhǎng)CD交x軸于M，∴M(3，0)

過點(diǎn)M作CM垂線，交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作FNx軸于點(diǎn)N，

∴，

∵∠MCH=45°，CH=MH=4

∴MN=FN=2，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(5，2)，

∴直線CF的解析式為y=，

聯(lián)立拋物線解析式，得，解得點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)，

綜上所得，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，-5)，(，).