Question

如圖，已知函數(shù)y=x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-1），并且與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點(diǎn)C、D．
（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
（2）在第（1）小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．
（3）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y=x+1的圖象的交點(diǎn)D始終在第一象限，則系數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出BD的解析式，然后根據(jù)S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（2）分三種情況討論：①當(dāng)DP=DB時(shí)，②當(dāng)BP=DB時(shí)，③當(dāng)PB=PD時(shí)；
（3）根據(jù)圖象即可得出答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在y=x+1的圖象上，∴D（1，2），
∴直線BD的解析式為y=3x-1，∴A（0，1），C（

1

3

，0），
∴S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=

1

2

×1×1+

1

2

×

1

3

×2=

5

6

；
（2）①當(dāng)DP=DB時(shí)，設(shè)P（0，y），
∵B（0，-1），D（1，2），
∴DP²=1²+（y-2）²=DB²=1²+（2+1）²，
∴P（0，5）；
②當(dāng)BP=DB時(shí)，DB=

10

，∴P（0，-1-

10

）或P（0，

10

-1）；
③當(dāng)PB=PD時(shí)，設(shè)P（0，a），則（a+1）²=1+（2-a）²，解得a=

2

3

，
∴P（0，

2

3

）；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y=x+1的圖象的交點(diǎn)D始終在第一象限，則系數(shù)k的取值范圍是：k＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合知識(shí)，難度適中，關(guān)鍵是掌握分類討論思想的運(yùn)用．