Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，D是優(yōu)弧BC上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AD交BC于點(diǎn)E，連結(jié)BD.

（1）若AE=2，DE=8，求AC的長;

（2）若D是優(yōu)弧BC上中點(diǎn)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)AB=AC推出∠BAE=∠BAD，然后根據(jù)同弧推出∠BDA=∠BCA，則ABE~ABD，即可推出，即可求解AB；

（2）根據(jù)D是優(yōu)弧BC上中點(diǎn)，推出,通過AB=AC推出AD為⊙O的直徑，然后證明ACE~CDE, 推出，又CE=BC，即可證明.

解：（1）∵AB=AC

∴∠BAE=∠BAD

∵根據(jù)同弧

∴推出∠BDA=∠BCA

∴ABE~ABD

∴

∵AE=2，DE=8

∴

（2）如圖

∵D是優(yōu)弧BC上中點(diǎn)

∴

∴CD=BD

∵AB=AC

∴AD垂直平分BC

∴AD為⊙O的直徑

∴∠ACD=∠CED=90°，∠1+∠2=∠1+∠3=90°

∴∠2=∠3

∴ACE~CDE

∴

∴

又CE=BC

∴

∴