Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為AB上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓弧與BC相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）已知AE=2，DC=，求圓弧的半徑．

Answer 1

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，則可得OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ODA=∠CAD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠ODA=∠OAD，問題得證；（2）2

試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，則可得OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ODA=∠CAD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠ODA=∠OAD，問題得證；
（2）過O作OH⊥AC于H，根據(jù)垂徑定理可得，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC=，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果.
（1）∵OA為半徑的圓弧與BC相切于點(diǎn)D
∴OD⊥BC
∴∠ODB=∠C=90°
∴OD∥AC
∴∠ODA=∠CAD
又∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD
∴∠CAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC；
（2）過O作OH⊥AC于H

∴
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH=DC=
∴在Rt△ABC中，圓弧的半徑OA=．
點(diǎn)評(píng)：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.