Question

三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．
（1）在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)

BC

AC

=k，試求k的值；
（4）如圖2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁=A₁C₁，∠A₁=108°，且A₁B₁=AB，請(qǐng)直接寫出

BC

B1C1

的值．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)基本作圖中線段垂直平分線的作法進(jìn)行作圖；
（2）求得各個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)題意進(jìn)行判斷；
（3）通過證明△BDC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（4）由黃金三角形的性質(zhì)可知

BC

B1C1

的值．

解答：解：（1）如圖所示；（2分）

（2）△BCD是黃金三角形．（3分）
證明如下：∵點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BCD是黃金三角形．（6分）

（3）設(shè)BC=x，AC=y，
由（2）知，AD=BD=BC=x．
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴

BC

AC

=

DC

BC

，即

x

y

=

y-x

x

，
整理，得x²+xy-y²=0，
解得x=

-1± 5

2

y．/
因?yàn)閤、y均為正數(shù)，所以k=

x

y

=

5 -1

2

．（11分）

（4）

3- 5

2

．（14分）
理由：延長(zhǎng)BC到E，使CE=AC，連接AE．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠ACE=180°-72°=108°，
∴∠ACE=∠B₁A₁C₁．
∵A₁B₁=AB，
∴AC=CE=A₁B₁=A₁C₁，
∴△ACE≌△B₁A₁C₁，
∴AE=B₁C₁．
由（3）知，
∴

BC

AB

=

BC

AC

=

5 -1

2

，

AB

AE

=

5 -1

2

，
∴

BC

B1C1

=

BC

AE

=

BC

AB

×

AB

AE

=

5 -1

2

×

5 -1

2

=

3- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，能夠熟記黃金比的值，根據(jù)黃金比進(jìn)行計(jì)算．注意根據(jù)題目中定義的黃金三角形進(jìn)行分析計(jì)算．