Question

（2011•廣元）如圖，拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A（﹣4，0）和B．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CEQ的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（﹣2，0）．問是否有直線l，使△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得：，
解得：，
∴所求拋物線的解析式為：y=﹣x²﹣x+4．
（2）設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．

由﹣x²﹣x+4=0，
得x₁=2，x₂=﹣4，
∴點B的坐標為（2，0），
∴AB=6，BQ=2﹣m，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴，
即，
∴EG=（2﹣m），
∴S_△CQE=S_△CBQ﹣S_△EBQ
=BQ•CO﹣BQ•EG
=（2﹣m）[4﹣（2﹣m）]
=﹣（m+1）²+3
又∵﹣4≤m≤2，
∴當m=﹣1時，S_△CQE有最大值3，此時Q（﹣1，0）．
（3）存在．在△ODF中．

（ⅰ）若DO=DF，
∵A（﹣4，0），D（﹣2，0）
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°．
此時，點F的坐標為（﹣2，2）
由﹣x²﹣x+4=2，
得x₁=﹣1+，x₂=﹣1﹣，
此時，點P的坐標為：P（﹣1+，2）或P（﹣1﹣，2）．

（ⅱ）若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M
由等腰三角形的性質(zhì)得：OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（﹣1，3）
由﹣x²﹣x+4=3，
得x₁=﹣1+，x₂=﹣1﹣，
此時，點P的坐標為：P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）．
（ⅲ）若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴點O到AC的距離為2，而OF=OD=2＜2，
∴此時不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點P的坐標為：P（﹣1+，2）或P（﹣1﹣，2）或P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）．

解析