Question

【題目】（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內接正三角形，點P為劣弧BC上一動點．求證：PA＝PB+PC；

（2）已知：如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P為劣弧BC上一動點．求證：PA＝PC+PB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

(1)延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠BCE=∠ACP，BC=AC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；

(2)過點B作BE⊥PB交PA于E，證明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．

證明：(1)延長BP至E，使PE＝PC，連接CE，如圖1，

∵A、B、P、C四點共圓，

∴∠BAC+∠BPC＝180°，

∵∠BPC+∠EPC＝180°，

∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，

∴△PCE是等邊三角形，

∴CE＝PC，∠E＝60°；

又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，

∴∠BCE＝∠ACP，

∵△ABC、△ECP為等邊三角形，

∴CE＝PC，AC＝BC，

在△BEC和△APC中，

∴△BEC≌△APC（SAS），

∴PA＝BE＝PB+PC；

(2)過點B作BE⊥PB交PA于E，如圖2，

∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°

∴∠1＝∠3，

∴∠APB＝45°，

∴BP＝BE，

∴PE＝PB，

在△ABE和△CBP中，

∴△ABE≌△CBP（SAS），

∴PC＝AE，

∴PA＝AE+PE＝PC+PB.