Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP₀按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₀的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)）。

Answer 1

解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P₆落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)P_x到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故P₅的坐標(biāo)為（0，-25），即P₆（0，-64）；
（2）由已知可得，
設(shè)，則，
又，
（3）由題意知，OP₀旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸正半軸，在這8次甲，點(diǎn)Pn分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n。①當(dāng)n=8k或n=8k+4時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在x軸上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（2ⁿ，0）；②當(dāng)n-8k+1或n-8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在各象限的平分線上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為；
③當(dāng)n-8k+2或n=8k+6時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在y軸上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（0，2ⁿ）。