Question

（2013•銅仁地區(qū)）如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式；
（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算；
（3）根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，m），分三種情況討論，①M(fèi)A=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c得：

1+b+c=0 c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

．
∴拋物線解析式為：y=x²+2x-3．

（2）令y=0得：0=x²+2x-3，
解得：x₁=1，x₂=-3，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），AC=4，
故可得S_△ABC=

1

2

AC×OB=

1

2

×4×3=6．

（3）拋物線的對稱軸為：x=-1，假設(shè)存在M（-1，m）滿足題意：
討論：
①當(dāng)MA=AB時(shí)，

22+m2

=

10

，
解得：m=±

6

，
∴M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

）；
②當(dāng)MB=BA時(shí)，

12+(m+3)2

=

10

，
解得：M₃=0，M₄=-6，
∴M₃（-1，0），M₄（-1，-6）（不合題意舍去），
③當(dāng)MB=MA時(shí)，

22+m2

=

12+(m+3)2

，
解得：m=-1，
∴M₅（-1，-1），
答：共存在4個(gè)點(diǎn)M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

），M₃（-1，0），M₄（-1，-1）使△ABM為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難點(diǎn)在第三問，注意分類討論，不要漏解．