Question

在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=

 

度；
（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）問(wèn)要求∠BCE的度數(shù)，可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形中對(duì)應(yīng)角相等，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）問(wèn)在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，將α+β轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和；
（3）問(wèn)是第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)的拓展和延伸，要注意分析兩種情況．

解答：解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；

（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；

②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，α+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性質(zhì)；兩者綜合運(yùn)用，促進(jìn)角與角相互轉(zhuǎn)換，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵．本題的亮點(diǎn)是由特例引出一般情況．