Question

【題目】如圖1，直線y=2x﹣2與曲線y= （x＞0）相交于點A（2，n），與x軸、y軸分別交于點B，C．

（1）求曲線的解析式；
（2）試求ABAC的值？
（3）如圖2，點E是y軸正半軸上一動點，過點E作直線AC的平行線，分別交x軸于點F，交曲線于點D．是否存在一個常數(shù)k，始終滿足：DEDF=k？如果存在，請求出這個常數(shù)k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=2x﹣2經(jīng)過點A（2，n），

∴n=2×2﹣2=2，即A的坐標是（2，2），

把（2，2）代入y= 得m=4，

則反比例函數(shù)的解析式是y= （x＞0）

（2）

解：過A作AM⊥x軸于點M．

在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，則C的坐標是（0，﹣2），令y=0，則2x﹣2=0，解得x=1，則B的坐標是（1，0）；

則AB= = = ，

BC= = = ，

則ABAC= ×2 =10

（3）

解：存在常數(shù)k，過點D作DN⊥x軸于點N．過點E作EG⊥DN于點G，則∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，

設D的坐標是（a， ），則EG=a，DN= ，

∵DF∥AC，EG∥FN，

∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，

∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，

∴ ，有DF： = ，則DF=2 a，

又 = ，有 = ，則ED= a，

于是，DEDF= a =10．

即存在常數(shù)k=10

【解析】（1）首先把A代入直線解析式求得A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式；（2）首先求得A和B的坐標，過A作AM⊥x軸于點M，然后利用勾股定理求得AB和BC的長，則AB和AC的長即可求得，則兩線段的乘積即可求得；（3）過點D作DN⊥x軸于點N．過點E作EG⊥DN于點G，易證△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
【考點精析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質和反比例函數(shù)的圖象的相關知識點，需要掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點才能正確解答此題．