Question

（2010•吉林）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于點(diǎn)E．DF⊥BC于點(diǎn)F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．點(diǎn)P、Q分別在線段AE、DF上，順次連接B、P、Q、C，線段BP、PQ、QC、CB所圍成的封閉圖形記為M，若點(diǎn)P在線段AE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之在線段DF上運(yùn)動(dòng)，使圖形M的形狀發(fā)生改變，但面積始終為10cm²，設(shè)EP=xcm，F(xiàn)Q=ycm．解答下列問(wèn)題：
（1）直接寫(xiě)出當(dāng)x=3時(shí)y的值；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，圖形M成為等腰梯形？圖形M成為三角形？
（4）直接寫(xiě)出線段PQ在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能掃過(guò)的區(qū)域的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性質(zhì)得：BE=EF=FC=2，在圖形中找到等量關(guān)系S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP，代入三角形面積公式、梯形面積公式以及已知條件解答即可；
（2）在圖形中找到等量關(guān)系S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP，代入三角形面積公式、梯形面積公式以及x、y的取值范圍解答即可；
（3）若圖形M為等腰梯形（如圖1），則EP=FQ，即x=-x+5，解得x=；若圖形M為等腰三角形，分兩種情形：
①當(dāng)點(diǎn)P、Q、C在一條直線上時(shí)（如圖2），EP是△BPC的高；
②當(dāng)點(diǎn)B、P、Q在一條直線上時(shí)（如圖3），F(xiàn)Q是△BQC的高；
可根據(jù)M的值及底邊BC的長(zhǎng)，分別求出兩種情況下的x的值．
（4）通過(guò)畫(huà)圖可發(fā)現(xiàn)，線段PQ掃過(guò)的部分是兩個(gè)全等的三角形，且都是以x最小時(shí)AP的長(zhǎng)為底，AD的長(zhǎng)為高，在（2）中已經(jīng)求得x的取值范圍為1≤x≤4，所以此時(shí)AP=AE-x_min=3，那么線段PQ掃過(guò)的面積即為：2S=2××3×1=3，由此得解．
解答：解：（1）由等腰梯形的性質(zhì)得：BE=EF=FC=2，
∴S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP
=BE•xFC•y+•EF
=×2x+×2y+×2
=2（x+y），
把S_M=10，x=3代入上式，解得y=2．

（2）由等腰梯形的性質(zhì)得：BE=EF=FC=2，
∵S_△BEP+S_梯形PEFQ+S_△FCQ=S_梯形M，
∴×2x+（x+y）×2+×2y=10，
∴y=-x+5，
由，得1≤x≤4．

（3）若圖形M為等腰梯形（如圖1），則EP=FQ，即x=-x+5，解得x=．
∴當(dāng)x=時(shí)，圖形M為等腰梯形．
若圖形M為三角形，分兩種情形：
①當(dāng)點(diǎn)P、Q、C在一條直線上時(shí)（如圖2），EP是△BPC的高，
∴BC•EP=10，即×6x=10，解得x=；
②當(dāng)點(diǎn)B、P、Q在一條直線上時(shí)（如圖3），F(xiàn)Q是△BQC的高，
∴BC•FQ=10，即×6×（-x+5）=10，解得x=；
∴當(dāng)x=或時(shí)，圖形M為三角形．

（4）線段PQ掃過(guò)的部分是兩個(gè)全等的三角形，且都是以x最小時(shí)AP的長(zhǎng)為底，AD的長(zhǎng)為高，在（2）中已經(jīng)求得x的取值范圍為1≤x≤4，所以此時(shí)AP=AE-x_min=3，那么線段PQ掃過(guò)的面積即為：2S=2××3×1=3cm²；
評(píng)分說(shuō)明：（4）中不寫(xiě)單位不扣分，線段PQ在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能掃過(guò)的區(qū)域?yàn)閳D4中陰影部分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及梯形的面積公式；在解決動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題時(shí)，一定要注意分類討論，以免漏解．