Question

二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，以為邊在第二象限內(nèi)作等邊三角形．

（1）求直線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)在第二象限，且△的面積等于△的面積，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）以軸上的點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，與以點(diǎn)為圓心，的長為半徑的圓相切，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3），，，

【解析】解：（1）二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)， （2分）

        設(shè)直線的表達(dá)式為，

可求得，．所以直線的表達(dá)式為．             （1分）

可得，∵，

∴．                                                       （1分）

在Rt△中，由勾股定理得：．

∴．點(diǎn)．                                            （1分）

解：（2）∵點(diǎn)、都在第二象限，且△的面積等于△的面積，

∴∥．                                                         （1分）

設(shè)直線的表達(dá)式為，點(diǎn)在直線上，

可得 ．

∴直線的表達(dá)式為．                                     （1分）

可得點(diǎn)的坐標(biāo)：．                                           （1分）

解：（3）點(diǎn)的坐標(biāo)，，，．

（1）已知拋物線的解析式，其頂點(diǎn)以及函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)易求得．在求點(diǎn)C的坐標(biāo)時(shí)，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），顯然，若△ABC是等邊三角形，那么AC與x軸垂直，無論通過勾股定理求邊長還是根據(jù)B點(diǎn)在AC的中垂線上，都能比較容易的求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）“M點(diǎn)在第二象限內(nèi)”確定了點(diǎn)M的大致范圍，若“△ABM的面積等于△ABC的面積”，以AB為底邊進(jìn)行分析，那么點(diǎn)C、點(diǎn)M到直線AB的距離是相同的，即CM∥AB，直線AB的解析式易求，兩直線平行則斜率相同，再代入點(diǎn)C的坐標(biāo)就能通過待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，然后代入點(diǎn)M的縱坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

（3）首先求出⊙C的半徑，即CM的長．若⊙C與⊙N相切，就要分兩種情況來考慮：①外切，CN長等于兩圓的半徑和；②內(nèi)切，CN長等于兩圓的半徑差．

在明確CN長的情況下，在Rt△CAN中，通過勾股定理求出AN的長，進(jìn)一步即可確定點(diǎn)N的坐標(biāo)．