Question

如圖在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，O分別是AB，CD，AD的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧EF．P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，并延長(zhǎng)OP交線段BC于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，分別交射線AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)G． 若，則BK﹦                           ．

Answer 1

,．

試題分析：根據(jù)MG與⊙O相切得OK⊥MG．設(shè)直線OK交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證∠MGB=∠BHK．根據(jù)三角函數(shù)定義，tan∠MGB=tan∠BHK= ，從而有AH=3，BH=3BK．因?yàn)锳B=2，所以BH=1，可求BK．
P為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P接近F點(diǎn)時(shí)，本題另有一個(gè)解．
試題解析：：（1）若OP的延長(zhǎng)線與射線AB的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為H．如圖1，

∵M(jìn)G與⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵，
∴tan∠BHK=．
∴AH=3AO=3×1=3，BH=3BK．
∵AB=2，
∴BH=1，
∴BK=．
（2）若OP的延長(zhǎng)線與射線DC的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為H．如圖2，

同理可求得BK=．
綜上所述，本題應(yīng)填,．
考點(diǎn): 切線的性質(zhì)．