Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，點E從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線DA運動，同時點F從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB運動，連接CE、CF和EF，設(shè)運動時間為t（s）．

（1）當t＝3s時，連接AC與EF交于點G，如圖①所示，則EF＝　 　cm；

（2）當E、F分別在線段AD和AB上時，如圖②所示，

①求證：△CEF是等邊三角形；

②連接BD交CE于點G，若BG＝BC，求EF的長和此時的t值．

（3）當E、F分別運動到DA和AB的延長線上時，如圖③所示，若EF＝3cm，直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①見解析；②EF＝（9）cm，t＝6﹣6（3）

【解析】

（1）由條件可知△ADC，△ABC都是等邊三角形，證明CE＝CF，AE＝AF，可得出AC垂直平分線段EF，由30°直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（2）①只要證明△DCE≌△ACF，得出CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，可得出∠ECF＝60°，則結(jié)論得證；

②連接AC，交BD 于點O，過點E作EN⊥CD，垂足為N，由BD＝2BO求出BD長，證明DE＝DG，可求出DE長，則t的值可求出，在Rt△DEN中，由EN＝DEsin60°，可求出EN＝9﹣3，在Rt△ECN中可得∠ECN＝45°，求出CE的長，則CE＝EF可求出；

（3）作CH⊥AB于H．先求出BH＝3，CH＝3，在Rt△CFH中，由勾股定理HF＝可求出，則BF和AF可求出．

（1）解：如圖①中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∴△ADC，△ABC都是等邊三角形，

當t＝3時，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，

∵CA＝CD＝CB，

∴CE⊥AD，CF⊥AB，

∵∠CAB＝∠CAD，

∴CF＝CE，

∵AE＝AF，

∴AC垂直平分線段EF，

∴∠AGF＝90°，

∵∠FAG＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∴AG＝AF＝cm，

∴cm，

∴EF=cm；

故答案為：．

（2）①證明：由（1）知△ADC，△ABC都是等邊三角形，

∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝0°，DC＝AC，

∵DE＝AF，

∴△DCE≌△ACF（SAS），

∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠ACD＝60°，

∴△ECF是等邊三角形．

②如圖②中，連接AC，交BD 于點O，過點E作EN⊥CD，垂足為N，

∵，BC＝6cm，

∴BO＝BCsin60°＝6×cm，

∴cm，

∴cm，

∵BG＝BC，

∴∠BGC＝∠BCG＝75°，

∵∠BGC＝∠DGE，

∴∠BCG＝∠DGE，

∵AD∥BC，

∴∠DEG＝∠BCG，

∴∠DEG＝∠DGE，

∴DG＝DE＝cm，

∵∠BCD＝120°，

∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCG＝120°﹣75°＝45°，

∴EN＝DEsin60°＝cm，

∴cm，

∴EF＝CE＝（9）cm，t＝（6﹣6）s．

（3）解：如圖③，作CH⊥AB于H，

由（2）可知：△EFC是等邊三角形，

∴CF＝EF＝3cm，

在Rt△BCH中，∵BC＝6，∠CBH＝60°，

∴BH＝3，CH＝cm，

在Rt△CFH中，HF＝cm，

∴cm，AF＝（3+）cm，

∵運動速度為1cm/s，

∴s．