Question

如圖，在直角梯形紙片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，將紙片沿過點A的直線折疊，使點B與點D重合，折痕為AG．連接DG并展開紙片．
（1）判斷四邊形ABGD的形狀并說明你的理由；
（2）連接BD，交AG于點E，作∠BAG的平分線，交BD于點F，求證：EF+AG=AB．

Answer 1

解：（1）四邊形ABGD是正方形．
∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．
由沿AG折疊后△ABG與△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°．
∴四邊形ABGD是矩形，且鄰邊AB，AD相等．
∴四邊形ABGD是正方形；

（2）證明：過點F作FM⊥AB于點M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于點E，
∴AE=AG，∠ABD=∠GBD=45°．
∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM
∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF．
∴EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．
分析：由已知可得四邊形ABGD是矩形，又因為AB=AD，所以四邊形ABGD是正方形；過點F作FM⊥AB于點M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于點E，則AE=AG，利用HL判定Rt△AMF≌Rt△AEF從而得到AM=AE，又知∠MFB=∠ABF=45°．所以MF=MB=EF，所以EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．
點評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定及正方形的判定的理解及運用．