Question

（2013•宜興市二模）如圖，已知正方形OABC的兩個頂點坐標(biāo)分別是A（2，0），B（2，2）．拋物線y=

1

2

x²-mx+

1

2

m²（m≠0）的對稱軸交x軸于點P，交反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象于點Q，連接OQ．
（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m=

1

2

k=2時，求證：△OPQ為等腰直角三角形；
（3）設(shè)反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象交正方形OABC的邊BC、BA于M、N兩點，連接AQ、BQ，有S_△ABQ=4S_△APQ．
①當(dāng)M為BC邊的中點時，拋物線能經(jīng)過點B嗎？為什么？
②連接OM、ON、MN，試分析△OMN有可能為等邊三角形嗎？若可能，試求m+2k的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用配方法求出頂點坐標(biāo)即可；
（2）利用m=

1

2

k=2得出k的值，進而得出P，Q點坐標(biāo)，即可得出△OPQ是等腰直角三角形；
（3）①根據(jù)S_△ABQ=4S_△APQ得出

1

2

AB•AP=4×

1

2

AP•PQ，即AB=4PQ，進而得出點Q的縱坐標(biāo)為

1

2

或-

1

2

（負值舍去），再求出m的值，將B點代入即可；
②首先判斷得出Rt△COM≌Rt△AON，進而得出∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°，求出N點坐標(biāo)，得出反比例函數(shù)解析式，進而得出m的值．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x²-mx+

1

2

m²=

1

2

（x²-2mx）+

1

2

m²=

1

2

（x-m）²，
∴頂點為（m，0）；

（2）∵m=

1

2

k=2，
∴k=4，
∴y=

1

2

x²-2x+2；
y=

4

x

，
如圖1，拋物線對稱軸為x=2，
∴點P（2，0）．∴Q（2，2），
連結(jié)OQ，∵OP=PQ=2，
∴△OPQ是等腰直角三角形；

（3）①如圖2，
∵正方形OABC，頂點A（2，0），B（2，2），
∴OA=AB=BC=2．
∵M為BC中點，
∴CM=1，M（1，2）．
∴y=

2

x

∵S_△ABQ=4S_△APQ
∴

1

2

AB•AP=4×

1

2

AP•PQ，即AB=4PQ，
∴PQ=

1

4

AB=

1

4

×2=

1

2

，
∴點Q的縱坐標(biāo)為

1

2

或-

1

2

（負值舍去），
∴P（4，0），代入y=

1

2

x²-mx+

1

2

m²
解得：m=4，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-4x+8．
將B（2，2）代入y=

1

2

x²-4x+8，成立．
∴當(dāng)M為BC邊的中點時，拋物線能經(jīng)過點B，
（其它方法可酌情給分）
②有可能
如圖3所示，當(dāng)△OMN為等邊三角形時，∠MON=60°，OM=ON，
在Rt△COM和Rt△AON中

MO=ON CO=OA

，
∴Rt△COM≌Rt△AON，
∴∠COM=∠AON，
又∵∠COA=90°，∴∠COM+∠AON=30°，
∴∠COM=∠AON=15°．
作線段ON的垂直平分線，交x軸于點D，連結(jié)DN，
則DO=DN．
∴∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°．
設(shè)N（2，t），則DO=DN=2t，AD=

3

t．
∴OA=DO+DA=2t+

3

t=2，
解得：t=4-2

3

，
∴N（2，4-2

3

），
∴k=2（4-2

3

）=8-4

3

，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

8-4 3

x

，
由①知，點Q的縱坐標(biāo)為

1

2

或-

1

2

．
當(dāng)y=

1

2

時，如圖4，

8-4 3

x

=

1

2

，
解得：x=16-8

3

，
即m=16-8

3

，
∴m+2k=16-8

3

+2（8-4

3

）=32-16

3

，
當(dāng)y=-

1

2

時，如圖5，

8-4 3

x

=-

1

2

，
解得：x=-16+8

3

，
即m=-16+8

3

，
∴m+2k=-16+8

3

+2（8-4

3

）=0．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．