Question

觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（1）請(qǐng)猜想出表示上面各式的特點(diǎn)的一般規(guī)律，用含x（x表示正整數(shù)）的等式表示出來

1

x(x+1)

=

1x

-

1

x+1

．
（2）請(qǐng)利用上述規(guī)律計(jì)算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

．（x為正整數(shù)）
（3）請(qǐng)利用上述規(guī)律，解方程：

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（1）觀察一系列等式得出一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)所求式子計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)方程，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．

解答：解：（1）

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

，
=1-

1

x+1

，
=

x

x+1

；

（3）方程變形得：

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
整理得：

1

x-2

-

1

x+1

=

1

x+1

，
去分母得：x+1-x+2=x-2，
解得：x=5，
檢驗(yàn)：將x=5代入原方程得：左邊

1

6

=右邊，
∴原方程的根為x=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解分式方程，以及分式的加減法，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．