Question

（2013•房山區(qū)一模）如圖，BC為半⊙O的直徑，點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，聯(lián)結(jié)BE交AD于F，過A作AG∥BE交CB的延長線于G．
（1）判斷直線AG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若直徑BC=2，求線段AF的長．

Answer 1

分析：（1）直線AG與圓O相切，理由為：連接OA，由A、E分別為半圓周的三等分點(diǎn)，得到三條弧相等，得出A為弧BE的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OA垂直于BE，由AG與BE平行，得到AG垂直于OA，即可得出AG與圓O相切；
（2）由直徑BC的長，求出半徑的長，根據(jù)三條弧相等得到三個圓心角為60度，再由OA=OB，得到三角形AOB為等邊三角形，根據(jù)三線合一求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，在直角三角形BDF中，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠EBC為30度，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，由AD-DF即可求出AF的長．

解答：（1）答：直線AG與⊙O相切，理由為：
證明：連接OA，
∵點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，
∴

BA

=

AE

=

EC

，
∴點(diǎn)A是

BE

的中點(diǎn)，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴直線AG與⊙O相切；

（2）解：∵點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO為正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=AB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

AB2-BD2

=

3

2

，
又∵∠EBC=30°，
在Rt△FBD中，tan∠EBC=

FD

BD

，即tan30°=

3

3

=

FD

1 2

，
解得FD=

3

6

，
則AF=AD-FD=

3

2

-

3

6

=

3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．