Question

【題目】在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠AEC=90°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 時(shí)，四邊形ABQP成為矩形？

（2）當(dāng)t= 時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點(diǎn)的速度（勻速運(yùn)動），使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或4；（3）四邊形PBQD不能成為菱形

【解析】

試題分析：（1）由∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP成為矩形；

（2）由（1）可求得點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；然后由當(dāng)PD=CQ時(shí)，CDPQ是平行四邊形，求得t的值；

（3）由PD∥BQ，當(dāng)PD=BQ=BP時(shí)，四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運(yùn)動時(shí)間t的值，再代入求BP，發(fā)現(xiàn)BP≠PD，判斷此時(shí)四邊形PBQD不能成為菱形；設(shè)Q點(diǎn)的速度改變?yōu)関cm/s時(shí)，四邊形PBQD在時(shí)刻t為菱形，根據(jù)PD=BQ=BP列出關(guān)于v、t的方程組，解方程組即可求出點(diǎn)Q的速度．

解：（1）如圖1，∵∠B=90°，AP∥BQ，

∴當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP成為矩形，

此時(shí)有t=22﹣3t，解得t=．

∴當(dāng)t=時(shí)，四邊形ABQP成為矩形；

故答案為：；

（2）如圖1，當(dāng)t=時(shí)，四邊形ABQP成為矩形，

如圖2，當(dāng)PD∥CQ時(shí)，四邊形CDPQ是平行四邊形，

則16﹣t=3t，

解得：t=4，

∴當(dāng)t=或4時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

故答案為：或4；

（3）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，

∴當(dāng)PD=BQ=BP時(shí)，四邊形PBQD能成為菱形．

由PD=BQ，得16﹣t=22﹣3t，

解得：t=3，

當(dāng)t=3時(shí)，PD=BQ=13，BP====≠13，

∴四邊形PBQD不能成為菱形；

如果Q點(diǎn)的速度改變?yōu)関cm/s時(shí)，能夠使四邊形PBQD在時(shí)刻ts為菱形，

由題意，得，解得．

故點(diǎn)Q的速度為2cm/s時(shí)，能夠使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形．