Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，O，H分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△A₁BC₁的位置，求：
（1）整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；
（2）整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OH、OH₁，先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=6

3

，則CH=3

3

，再利用勾股定理計(jì)算出BH=3

7

，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定
∠HOH₁=120°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧HH₁的長(zhǎng)度；
（2）BH交OO₁弧于P點(diǎn)，BH₁交OO₁弧于P₁點(diǎn)，先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=12，則BO=6，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BOH=∠BOH₁，S_△BOH=S_△BOH1，則S_扇形BOP=S_扇形BO1P1，于是線段OH所掃過部分的面積=S_扇形BHH1-S_扇形BPP1，然后根據(jù)扇形面積進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）連結(jié)OH、OH₁，如圖，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，
∴AC=

3

BC=6

3

，
∵H為AC的中點(diǎn)，
∴CH=

1

2

AC=3

3

，
在Rt△BCH中，BH=

BC2+HC2

=3

7

，
∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△A₁BC₁的位置，
∴∠HOH₁=120°，
∴弧HH₁的長(zhǎng)度=

120•π•3 7

180

=2

7

π，
即整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2

7

；

（2）BH交OO₁弧于P點(diǎn)，BH₁交OO₁弧于P₁點(diǎn)，如圖，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴BO=6，
∵△BOH≌△BOH₁，
∴∠BOH=∠BOH₁，S_△BOH=S_△BOH1，
∴S_扇形BOP=S_扇形BO1P1，
∴線段OH所掃過部分的面積=S_扇形BHH1-S_扇形BPP1=

120•π•(3 7 )2

360

-

120•π•62

360

=9π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式．