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        1. 【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF于點F.

          (1)求證:AE=EF.

          (2)如圖2,若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點 ”其余條件不變,那么結論AE=EF是否成立呢?若成立,請你證明這一結論,若不成立,請你說明理由.

          【答案】(1)證明見解析;(2)成立,證明見解析

          【解析】試題分析:(1)AB的中點G,連接EG,根據(jù)已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF,因為全等三角形的對應邊相等,所以AE=EF.
          (2)AB上取一點M,使AM=EC,連接ME,根據(jù)已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF,因為全等三角形的對應邊相等,所以AE=EF.

          試題解析:

          (1)證明:取AB的中點G,連接EG

          ∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC,∠B=∠BCD=∠DCG=90°

          ∵點E是邊BC的中點

          AM=EC=BE

          ∴∠BGE=∠BEG=45°

          ∴∠AGE=135°,

          CF平分∠DCG,

          ∴∠DCF=∠FCG=45°,

          ∴∠ECF=180°-∠FCG=135°,

          ∴∠AGE=∠ECF

          ∵∠AEF=90°

          ∴∠AEB+∠CEF=90°,

          又∵∠AEB+∠GAE=90°,

          ∴∠GAE=∠CEF,

          在△AGE和△ECF中,∠GAE=∠CEF,AG=CE,∠AGE=∠ECF∴△AGE≌△ECFASA),∴AE=EF

          (2)證明:在AB上取一點M,使AM=EC,連結ME,

          BM=BE∴∠BME=45°∴∠AME=135°.

          CF是外角平分線,

          ∴∠DCF = 45°.

          ∴∠ECF = 135°.

          ∴∠AME = ∠ECF .

          ∵∠AEB +∠BAE=90°,∠AEB + ∠CEF = 90°,

          ∴∠BAE = ∠CEF.

          ∴△AME ≌ △ECFASA).

          AE=EF.

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