Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B．延長BO與⊙O交于點B，延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E，

（1）求證：PB為⊙O的切線；

（2）若OC：BC=2：3，求sinE的值．

Answer 1

【考點】切線的判定與性質．

【分析】（1）連接OA，由SSS證明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；

（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到=，證出OC是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出AD=2OC，由已知設OC=2t，則BC=3t，AD=4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

【解答】（1）證明：連接OA，如圖1所示：

∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∵OA=OB，OP⊥AB于C，

∴BC=CA，PB=PA，

在△PBO和△PAO中，，

∴△PBO≌△PAO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB為⊙O的切線；

（2）解：連接AD，如圖2所示：

∵BD是直徑，∠BAD=90°

由（1）知∠BCO=90°

∴AD∥OP，

∴△ADE∽△POE，

∴=，

∵BC=AC，OB=OD，

∴OC是△ABD的中位線，

∴AD=2OC，

∵OC：BC=2：3，

設OC=2t，則BC=3t，AD=4t．

∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠BOC=∠PBC，

∵∠OCB=∠BCP，

∴△PBC∽△BOC，

∴，即，

∴PC=t，OP=t．

∴==，

設EA=8m，EP=13m，則PA=5m．

∵PA=PB，

∴PB=5m，

∴sinE==．

【點評】本題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識；熟練掌握切線的判定，能夠通過作輔助線將所求的角轉移到相應的直角三角形中是解答問題（2）的關鍵．