Question

如圖：已知拋物線y=

1

4

x²+

3

2

x-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上，頂點(diǎn)F，G分別在線段BC，AC上，設(shè)OD=m，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并指出m的取值范圍；
（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接對(duì)角線DF并延長至點(diǎn)M，使FM=

2

5

DF．試探究此時(shí)點(diǎn)M是否在拋物線上，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓二次函數(shù)解析式的y=0，求得A，B的橫坐標(biāo)，讓x=0，求得C的縱坐標(biāo)．
（2）根據(jù)DG∥AC，可得△ADG∽△AOC，利用相似比可求得用m表示的DG長；同理可得△CFG∽△CBA，利用相似比可求得用m表示的FG長．那么矩形的面積=DG×FG
（3）利用（2）所給的二次函數(shù)解析式求得相應(yīng)的m的取值時(shí)的最值．作MN⊥AB，垂足為N，則有MN∥FE，利用相似可求得有關(guān)點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)的相關(guān)線段長．把橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，看是否等于縱坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）A（2，0），B（-8，0），C（0，-4）．（3分）

（2）由△ADG∽△AOC，可得

AD

AO

=

DG

OC

，
∴DG=2（2-m），（4分）
同理可得△CFG∽△CBA，
∴DE=5m，（5分）
∴S=DG×DE=2（2-m）•5m=20m-10m²
∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-10m²+20m，且0＜m＜2．（6分）

（3）由S=-10m²+20m可知m=1時(shí)，S有最大值10，此時(shí)D（1，0），DE=5，EF=2．（7分）
過點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，則有MN∥FE，
∴

DE

DN

=

EF

MN

=

DF

DM

，
又有

DF

DM

=

5

7

，
得DN=7，MN=

14

5

∴N（-6，0），M(-6，-

14

5

)，（8分）
在二次函數(shù)y=

1

4

x²+

3

2

x-4中，當(dāng)x=-6時(shí)，y=-4≠-

14

5

，
∴點(diǎn)M不在拋物線上．（9分）

點(diǎn)評(píng)：與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0．主要運(yùn)用了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)得到所求．