Question

已知：如圖，⊙O的半徑為

2

，弦AB=2，點D是劣弧AB上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，切點為F、G，兩條切線相交于點C．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大��；否則，請說明理由；
（3）記△ABC的面積為y，DE的長為x，試求y與x的函數(shù)關系式，并確定自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理的逆定理，易證∠AOB的度數(shù)為90°；
（2）連接AD、BD，由（1）和圓內接四邊形的性質得，∠ADB=135°，根據(jù)點O是△ABC的內心，則∠ADB=90°+

1

2

∠C，從而得出∠ACB為定值；
（3）在直角三角形ABC中，∠C=90度，內切圓半徑DE=x，斜邊長AB=2．這樣容易求出面積y與x關系．

解答：解：（1）∵OA=

2

，AB=2，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴∠AOB=90°；

（2）連接AD、BD，
∵∠AOB=90°，
∴∠ADB=135°，
∵⊙D是△ABC的內切圓，
∴∠ADB=90°+

1

2

∠C，
∴∠C=90°；

（3）設AC=b，BC=a，則有a+b=2+2x（切線長定理），
∵a²+b²=（a+b）²-2ab，
∴（2+2x）²-4y=4（勾股定理），
∴y=（x+1）²-1，
當DEO三點共線時，x最大，即x=

2

-1，
∴自變量x的取值范圍是0＜x≤

2

-1．

點評：本題考查了三角形的內切圓和內心，勾股定理的逆定理，圓內接四邊形的性質，是中考壓軸題，難度較大．