Question

如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線(xiàn)l上，在l上翻滾兩次，使它轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置．若BC=1，AC=

3

，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A′的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)是

(

4

3

+

3

2

)π

；若在l上連續(xù)翻滾2012次，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)又是

(

2684

3

+

671 3

2

)π

．

Answer 1

分析：利用弧長(zhǎng)公式即可求得：由A到A′轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)和有A′到A″經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)，二者的和就是頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)；
根據(jù)每三次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，因而在l上連續(xù)翻滾2012次，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)即可求解．

解答：解：∵BC=1，AC=

3

，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴由A到A′轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)是：

120π×2

180

=

4π

3

，
由A′到A″經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)是：

90π× 3

180

=

3 π

2

，
則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)是：

4π

3

+

3 π

2

=（

4

3

+

3

2

）π；
繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，則每三次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，因而在l上連續(xù)翻滾2012次，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)是

2012

3

×（

4

3

+

3

2

）π=（

2684

3

+

671 3

2

）π．
故答案是：（

4

3

+

3

2

）π，（

2684

3

+

671 3

2

）π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式，正確理解每三次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，以及記憶弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．