Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，是中點(diǎn).

（1）求此二次函數(shù)的解析式.

（2）已知，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)四點(diǎn)構(gòu)成以為邊的平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線（為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)），在原拋物線軸的上方部分取一點(diǎn)，連接，與翻折后的曲線交于點(diǎn). 若的面積是面積的3倍，這樣的點(diǎn)是否存在？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)解析式為：；（2）；（3）存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法,代入A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，解一個(gè)含有a，b的二元一次方程組即可求得：

(2)存在這樣的點(diǎn)有四個(gè)，運(yùn)用平行四邊形相關(guān)性質(zhì)通過(guò)平移進(jìn)行分類求解：

(3)為存在性問(wèn)題通過(guò)的面積是面積的3倍這一關(guān)鍵信息進(jìn)行分析求得.

（1）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)其解析式為：

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴，解得

∴二次函數(shù)解析式為：

（2）點(diǎn)在拋物線上，Q的坐標(biāo)為,

①當(dāng)H,Q在直線PA下方時(shí)：

，，將P向右平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到A，同樣有點(diǎn)Q向右平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到H,此時(shí)點(diǎn)在軸上，得到，求得x=3或1，此時(shí)H為（4,0）或（6,0）.

②當(dāng)H,Q在直線PA上方時(shí)：同理可得H的坐標(biāo)為.

綜上H的坐標(biāo)為 .

（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：.

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

∵的面積是的面積的3倍，

∴，∴.

如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，

垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，則有.

∴，∴.

設(shè)，

則，

∴.

∵，∴，

整理得：，

解得：，

∴存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.