Question

如圖，AB是△ABC外接圓⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，且BD=

1

2

AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，過C的直徑交⊙O于點F，連接CD、BF、EF．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求：tan∠BFE的值．

Answer 1

分析：（1）要證明CD是⊙O的切線，只要證明OC⊥CD即可；
（2）過點E作EH⊥BF于H，設(shè)EH=a，利用角之間的關(guān)系可得到AC∥BF，從而得到BH=

3

EH=a

3

，BE=2EH=2a，進而可得到BF的長，此時可求得FH的長，再根據(jù)正切的公式即可求得tan∠BFE的值．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵OB=

1

2

AB，BD=

1

2

AB，
∴BC=OB=BD，
∴BC=

1

2

OD，
∴OC⊥CD，
∵OC是半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過點E作EH⊥BF于H，設(shè)EH=a，
∵CF是⊙O直徑，
∴∠CBF=90°=∠ACB，
∴∠CBF+∠ACB=180°，
∴AC∥BF，
∴∠ABF=∠A=30°，
∴BH=

3

EH=a

3

，BE=2EH=2a，
∵CE⊥AB于E，
∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴BC=2BE=4a，
∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，
∴BF=

3

BC=4a

3

，
∴FH=BF-BH=4a

3

-a

3

=3a

3

，
∴tan∠BFE=

EH

FH

=

a

3a 3

=

3

9

．

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．要熟知直角三角形的性質(zhì)并熟練掌握三角函數(shù)值的求法．