Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4

2

，AD=

2

，∠B=45°，直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合），一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（如圖），斜邊與CD交于點(diǎn)F，設(shè)BE=x，CF=y
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到什么位置時(shí)y的值最大，最大值是多少？
（3）連接AF，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求x的值；
（4）求點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中，△ADF外接圓半徑的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意易證∠1=∠3，從而得出△ABE∽△ECF；
（2）由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函數(shù)，求出y的最大值即可；
（3）分兩種情況①∠EAF=90°時(shí)，②∠EFA=90°時(shí)，得出x的值；
（4）設(shè)△ADF外接圓半徑為r，作FH⊥AD于H，由勾股定理可求出r的最小值．

解答：解：（1）∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；

（2）AB=（4

2

-

2

）÷2×

2

=3，
由（1）得，

BE

CF

=

AB

CE

，即

x

y

=

3

4 2 -x

，
∴y=

1

3

x（4

2

-x）=-

1

3

x²+

4 2

3

x（0＜x＜4

2

），
當(dāng)x=2

2

即E為BC的中點(diǎn)時(shí)，y_max=

8

3

；

（3）（i）如圖i．當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，EF=

2

AE，
∴EC=

2

AB，即4

2

-x=

2

×3，
∴x=

2

；
（ii）如圖ii：∠EFA=90°時(shí)，∴AE=

2

EF，
∴AB=

2

EC，即3=

2

（4

2

-x），
∴x=

5

2

2

（4）設(shè)△ADF外接圓的圓心為O，其半徑為r．
∵∠ADF=135°，
∴劣弧AF所對(duì)圓周角為45°
∴劣弧AF所對(duì)圓心角∠AOF=90°，
∴AF=

2

r，
當(dāng)AF最小時(shí)，r也最小；
又∵當(dāng)CF最大時(shí)，AF最小，
此時(shí)DF=DC-CF=3-

8

3

=

1

3

，
作FH⊥AD于H，則FH=DH=

2

6

，
∴AF_min=

AH2+FH2

=

10

6

=

5

3

，
∴r_min=

5 2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問(wèn)題以及等腰梯形的性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．