Question

將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）：
第一次分割：將正六邊形紙片分割成三個全等的菱形，然后選取其中的一個菱形在分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；
第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個全等的菱形，然后選取其中的一個菱形在分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；
按上述分割方法進行下去…
（1）請你在下圖中畫出第一次分割的示意圖；
（2）若原正六邊形的面積為a，請你通過操作和觀察，將第1次，第2次，第3次分割后所得的正六邊形的面積填入下表：

分割次數(shù)（n）	1	2	3	…
正六邊形的面積S

（3）觀察所填表格，并結合操作，請你猜想：分割后所得的正六邊形的面積S與分割次數(shù)n有何關系？（S用含a和n的代數(shù)式表示，不需要寫出推理過程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正六邊形的每一個角是60°和各邊都相等，可以作兩個內角的角平分線，構造三個菱形；再進一步找到其中一個菱形的各邊中點，進行分割成正六邊形和兩個全等的三角形；
（2）根據(jù)正六邊形的面積比是邊長的比的平方，發(fā)現(xiàn)每一次分割得到的正六邊形的邊長都是上一次正六邊形的邊長的

1

2

，則面積是上一次的正六邊形的面積的

1

4

．根據(jù)這一規(guī)律完成表格；
（3）根據(jù)上述規(guī)律即可得到分割n次時，則S=

a

4n

．

解答：（1）如圖：
；

（2）

分割次數(shù)（n）	1	2	3	…
正六邊形的面積S	a 4	a 16	a 64	…

；

（3）S=

a

4n

．

點評：此題要熟練運用正多邊形的性質進行分析．