Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB在x軸上，D點(diǎn)y軸上，∠C=60°，BC=6，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，且DM：AD=1：3．點(diǎn)E、F分別從A、C同時(shí)出發(fā)，以1厘米/秒的速度分別沿AB、CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng)），EM、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，F(xiàn)P交AD于點(diǎn)Q．⊙E半徑為

5

2

，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PF⊥AD；
（3）在（2）問(wèn)條件下，⊙E與直線PF是否相切？如果相切，加以證明，并求出切點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不相切，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知BC=6，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求．
（2）如果PF⊥AD，那么PF與BC也垂直，由此可得出∠CPF=30°，即CF=

1

2

PC，可用x表示出CF、PC，根據(jù)CF，PC的比例關(guān)系式可得出關(guān)于x的方程，即可求出x的值．
（3）本題只要證E到PF的距離是否為

5

2

即可．過(guò)E作PF的垂線，設(shè)垂足為G，延長(zhǎng)PF交x軸于M，過(guò)P作PN∥DA交x軸于N，由于PN∥AD，AD⊥PF，因此NP⊥PF，在直角三角形PNM中，∠PMN=30°，因此NG=2PN=12，那么EM=12-PD-AE=12-

14

6

-

14

3

=5，那么在直角三角形EGM中，∠PMN=30°，EM=5，因此EG=2.5=r，由此可得出PF與⊙E相切．
求切點(diǎn)即G點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可過(guò)G作x軸的垂線，即可通過(guò)構(gòu)建的直角三角形，用三角形函數(shù)求出G點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=

3

x-4

3

．

（2）∵PF⊥AD，AD∥BC
∴PF⊥BC
∵∠C=60°，
∴∠CPF=30°
∴CF=

1

2

PC，
又∵△PDM∽△EAM，且DM：AD=1：3，
∴PD：AE=1：2，
又∵AE=x，
∴PD=

1

2

x，
∵DC=AB=OA+OB=3+4=7，
∴PC=

1

2

x+7，
又∵CF=x，
∴x=

1

2

(

1

2

x+7)
∴x=

14

3

∵0＜

14

3

＜6
∴當(dāng)x=

14

3

時(shí)，PF⊥AD．

（3）相切，
過(guò)E作PF的垂線，設(shè)垂足為G，延長(zhǎng)PF交x軸于M，過(guò)P作PN∥DA交x軸于N，由于PN∥AD，AD⊥PF，因此NP⊥PF，在直角三角形PNM中，∠PMN=30°，因此MN=2PN=12，那么EM=12-PD-AE=12-

14

6

-

14

3

=5，那么在直角三角形EGM中，∠PMN=30°，EM=5，因此EG=2.5=r，由此可得出PF與⊙E相切．
求切點(diǎn)即G點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可過(guò)G作x軸的垂線GR⊥BE，
∵∠C=∠DAO=60°，BC=AD=6，
∴AO=3，
∴OE=

14

3

-3=

5

3

，
∵EG⊥PF，
∴AD∥GE∥BC，
∴∠GER=60°，
∴ER=

1

2

EG=

5

4

，
∴GR=

5 3

4

，
∴OR=

5

4

+

5

3

=

35

12

，
∴切點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

35

12

，

5 3

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)．
綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．