Question

如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB至點C，使OB=BC，OC=4，點P是半圓上一動點（不與點A、點B重合），∠ACP=α，則α的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：當點P在半圓上運動時，有α＞0，當CP為圓O的切線時，α最大，此時連接OP即為圓的半徑，根據切線性質得到OP⊥PC，即三角形OPC為直角三角形，由OB=BC=OP=OC，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的角為30°，得到α的最大值為30°，寫出α的取值范圍即可．
解答：解：當CP與半圓O相切時，如圖所示，連接OP，
由切線的性質得到OP⊥PC，即△OPC為直角三角形，
又OB=BC=OC=2，則圓的半徑r=2，即OP=2，
∴OP=OC，
則α=30°，
根據題意得到α的范圍是：0＜α≤30°．
故答案為：0＜α≤30°
點評：此題考查學生掌握切線的性質即圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及直角三角形的性質，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．連接切點與圓心是此類題經常連接的輔助線．