Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD的延長線交于點F，且∠AFB=∠ABC．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線．
（2）若CD=2 ，OP=1，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，

∴∠AFB=∠ADC，

∴CD∥BF，

∴∠APD=∠ABF，

∵CD⊥AB，

∴AB⊥BF，

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：連接OD，

∵CD⊥AB，

∴PD= CD= ，

∵OP=1，

∴OD=2，

∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，

∴△APD∽△ABF，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明AB⊥BF即可．（2）連接OD，在RT△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF， ，由此即可解決問題．本題考查切線的判定，垂徑定理、勾股定理．相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會條件常用輔助線，屬于中考常考題型．
【考點精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．