Question

（2013•黃陂區(qū)模擬）如圖，PB為⊙0的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關系是

EF²=4OD•OP

并加以證明．

Answer 1

分析：（1）連接OB，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PB為圓的切線，得到OB垂直于BP，利用全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OA垂直于AP，即PA為圓O的切線；
（2）EF²=4DO•PO，理由為：由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．

解答：（1）證明：連接OB，
∵PB與圓O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
則直線PA為圓O的切線；

（2）EF²=4DO•PO，理由為：
證明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴

OA

OP

=

OD

OA

，即OA²=OD•OP，
∵EF為圓的直徑，即EF=2OA，
∴

1

4

EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP．
故答案為：EF²=4OD•OP

點評：此題考查了切線的判定與性質，相似及全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．