Question

（2009•陜西）問題探究：
（1）請在圖①的正方形ABCD內(nèi)，畫出使∠APB=90°的一個點，并說明理由．
（2）請在圖②的正方形ABCD內(nèi)（含邊），畫出使∠APB=60°的所有的點P，并說明理由．
問題解決：
（3）如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD，AB=4，BC=3．工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板，且∠APB=∠CP'D=60度．請你在圖③中畫出符合要求的點和P和P′，并求出△APB的面積（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為正方形的對角線互相垂直，所以連接AC、BD交于點O，O即為所求；
（2）①以AB為邊在正方形內(nèi)作等邊△ABP；②作△ABP的外接圓O，分別與AD、BC交于點E、F．因為在圓O中，弦AB所對的上的圓周角均為60°，所以上的所有點均為所求的點P；
（3）因為∠APB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面積最大，所以同（2）：
①連接AC；
②以AB為邊作等邊△ABE；
③作等邊△ABE的外接圓O，交AC于點P；
④在AC上截取AP'=CP．則點P、P′為所求．
要求△APB的面積．可過點B作BG⊥AC，交AC于點G．
因為在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，利用勾股定理可求AC=5，利用三角形的面積可求BG=，又因在Rt△ABG中，AB=4，所以利用勾股定理可求出AG的值，然后在Rt△BPG中，因為∠BPA=60°，所以PG=，而AP=AG+PG，S_△APB=AP•BG，即可求出答案．
解答：解：（1）如圖①，連接AC、BD交于點P，
則∠APB=90度．∴點P為所求．（3分）

（2）如圖②，畫法如下：
①以AB為邊在正方形內(nèi)作等邊△ABP；
②作△ABP的外接圓O，分別與AD、BC交于點E、F．
∵在圓O中，弦AB所對的上的圓周角均為60°，
∴上的所有點均為所求的點P．（7分）

（3）如圖③，畫法如下：
①連接AC；
②以AB為邊作等邊△ABE；
③作等邊△ABE的外接圓O，交AC于點P；
④在AC上截取AP'=CP．則點P、P′為所求．（9分）
（評卷時，作圖準確，無畫法的不扣分）
過點B作BG⊥AC，交AC于點G．
∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3．
∴AC==5．
∴BG=．（10分）
在Rt△ABG中，AB=4，
∴AG=．在Rt△BPG中，∠BPA=60°，
∴PG=．
∴AP=AG+PG=．
∴S_△APB=AP•BG=．（12分）
點評：本題需仔細分析題意，利用同弧所對的圓周角相等即可解決問題．