Question

已知一個(gè)矩形紙片OABC，其中OA=2，OC=4，如圖，將該矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，邊OA與OC分別與x軸、y軸重合，折疊該紙，折痕與邊OC交于點(diǎn)D，與對角線AC交于點(diǎn)M，
（1）若折疊后使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若折疊后點(diǎn)C落在邊OA上的點(diǎn)為C′，設(shè)OC′=x，OD=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，從而根據(jù)點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出△C'DM≌△CDM，設(shè)OC′=x，OD=y，則可表示出C'D、CD，建立等式可得出y與x的關(guān)系式，再由點(diǎn)C'在OA上可得出自變量的范圍．

解答：解：（1）由題意得點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0）點(diǎn)C（0，4），
則CA=2

5

，CM=

5

，
∵△CDM∽△CAO，
∴CD：CA=CM：CO，
∴CD=2.5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4-2.5）=（0，1.5）；

（2）折疊后可得△C'DM≌△CDM，設(shè)OC′=x，OD=y，
則C'D=CD=4-y，在RT△OC'D中，C'D²=OC²+OD²，即（4-y）²=y²+x²，
即可得y=-

1

8

x²+2，
由點(diǎn)C'在OA上可得0≤x≤2，
∴解析式：y=-

1

8

x²+2（0≤x≤2）即為所求．

點(diǎn)評：此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，關(guān)鍵是找準(zhǔn)折疊后所得的等線段，根據(jù)條件建立等式，難度較大．