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        1. (2006•北京)已知:拋物線y=-x2+mx+2m2(m>0)與x軸交于A、B兩點,點A在點B的左邊,C是拋物線上一個動點(點C與點A、B不重合),D是OC的中點,連接BD并延長,交AC于點E.
          (1)用含m的代數(shù)式表示點A、B的坐標(biāo);
          (2)求的值;
          (3)當(dāng)C、A兩點到y(tǒng)軸的距離相等,且S△CED=時,求拋物線和直線BE的解析式.

          【答案】分析:(1)由y=0,得出的一元二次方程的解就是A、B兩點的橫坐標(biāo).由此可求出A、B的坐標(biāo).
          (2)本題要通過構(gòu)建相似三角形求解,過O作OG∥AC交BE于G,那么可得出兩組相似三角形:△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE,可分別用這兩組相似三角形得出OG與EC的比例關(guān)系、OG與AE的比例關(guān)系,從而得出CE、AE的比例關(guān)系.
          (3)求直線BE的解析式,要知道B、D的坐標(biāo),就要先確定m的值,已知了A、C到y(tǒng)軸的距離相等,因此A、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),可得出C的坐標(biāo)為(m,2m2).連接OE,可根據(jù)(2)中AE、CE的比例關(guān)系得出△CED與△AOC的面積比,從而可求出△AOC的面積,根據(jù)A、C兩點的坐標(biāo)即可表示出三角形AOC的面積,由此可確定m的值.即可得出A、C、B的坐標(biāo).也就能求出D點的坐標(biāo),然后根據(jù)B、D的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線BE的解析式.
          解答:解:(1)∵拋物線y=-x2+mx+2m2(m>0)與x軸交于A、B兩點,
          ∴關(guān)于x的方程-x2+mx+2m2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2;
          解得x1=-m,x2=2m.
          ∵點A在點B的左邊,且m>0,
          ∴A(-m,0),b(2m,0).

          (2)過點O作OG∥AC交BE于點G.
          ∴△CED∽△OGD
          ;
          ∵DC=DO,
          ∴CE=OG;
          ∵OG∥AC,
          ∴△BOG∽△BAE,

          ∵OB=2m,AB=3m.
          ===

          (3)連接OE.
          ∵D是OC的中點,
          ∴S△OCE=2S△CED
          ==
          =
          ∴S△AOC=5S△CED=8
          ∵S△AOC=OA•|yC|=m•2m2=m3
          ∴m3=8,
          解得m=2.
          ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8,點C的坐標(biāo)為(2,8),點B的坐標(biāo)為(4,0).
          分別過點D、C作x軸的垂線,交x軸于點M、N.
          ∴DM∥CN,
          ∵D是OC的中點.
          ∴OM=ON=1,DM=CN=4,
          ∴點D的坐標(biāo)為(1,4).
          設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b,則有:
          ,
          解得:,
          ∴直線BE的解析式為y=-x+
          點評:本題著重考查了相似三角形和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點,綜合性較強,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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          (2006•北京)已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0,3),與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點.
          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)若點D為線段OA的一個三等分點,求直線DC的解析式;
          (3)若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā),先到達(dá)x軸上的某點(設(shè)為點E),再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F),最后運動到點A′求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo),并求出這個最短總路徑的長.

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          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)若點D為線段OA的一個三等分點,求直線DC的解析式;
          (3)若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā),先到達(dá)x軸上的某點(設(shè)為點E),再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F),最后運動到點A′求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo),并求出這個最短總路徑的長.

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          (2)求的值;
          (3)當(dāng)C、A兩點到y(tǒng)軸的距離相等,且S△CED=時,求拋物線和直線BE的解析式.

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          (2006•北京)已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0,3),與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點.
          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)若點D為線段OA的一個三等分點,求直線DC的解析式;
          (3)若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā),先到達(dá)x軸上的某點(設(shè)為點E),再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F),最后運動到點A′求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo),并求出這個最短總路徑的長.

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