Question

如圖,AB是半圓O的直徑,C為半圓上一點(diǎn),過(guò)C作半圓的切線(xiàn),連接AC, 作直線(xiàn)AD,使∠DAC=∠CAB,AD交半圓于E,交過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)于點(diǎn)D.

(1)試判斷AD與CD有何位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(2)若AB=10,AD=8,求AC的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（1）AD⊥CD；（2）

【解析】

試題分析：(1)連接OC，則OC⊥CD，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，即可得到∠DAC=∠OCA，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到結(jié)果；

(2)連接BC,根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，證得△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

(1)連接OC

則OC⊥CD.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

又∠OAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AD∥OC,

∴AD⊥CD.

(2)連接BC

則∠ACB=90°

由(1)得∠ADC=∠ACB,

又∠DAC=∠CAB.

∴△ACD∽△ABC,

∴,即AC²=AD·AB=80,故AC=.

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：輔助線(xiàn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，能否根據(jù)具體情況正確作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)往往能夠體現(xiàn)一個(gè)學(xué)生對(duì)圖形的理解能力，因而這類(lèi)問(wèn)題在中考中比較常見(jiàn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，一般難度較大，需多加關(guān)注.