Question

如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G．
（1）求證：BE⊥AF；
（2）若正方形ABCD的邊長為4，EH⊥DG，垂足為H，且=，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD為正方形，且DE=CF，得到AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，進(jìn)而得△ABE≌△DAF，結(jié)合角角之間的等量關(guān)系可得∠AOB=90°，即可證明出BE⊥AF；
（2）首先判斷出四邊形EOGH為矩形，進(jìn)一步得到==，由同角的余角相等得到sin∠EDH=sin∠DFA，在Rt△ADF中，利用=求出AD的長，最后利用勾股定理求出DF的長，即DE的長度可求出．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AOB=90°，即AF⊥BE；

（2）解：∵EH⊥DG，顯然四邊形EOGH為矩形，
∴EH=OG，
∴==，
又知∠EDH=∠DFA（同角的余角相等），
∴sin∠EDH=sin∠DFA=，
∴在Rt△ADF中，=，
又∵AD=4，
∴AF=5，
由勾股定理得DF=3，
∴DE=CF=4-3=1．
點(diǎn)評：本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，此題是基礎(chǔ)題，比較簡單．