Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C是半徑OA上一點(diǎn)，PC⊥AB，點(diǎn)D是半圓上位于PC右側(cè)的一點(diǎn)，連接AD交線段PC于點(diǎn)E，且PD=PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，PC=8，設(shè)OC=x，PD²=y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x=1時(shí)，求tan∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）D要證明PD是⊙O的切線，只需證明OD和PD垂直即可．
（2）設(shè)PC與⊙O交于F點(diǎn)，連接OF，根據(jù)勾股定理求得CF，PF的值，再根據(jù)切割線定理求出函數(shù)關(guān)系式，從而不難求得tan∠BAD的值．

解答：（1）證明：連接OD，則∠OAE=∠ODE，
∵PC⊥AB，
∴∠OAE+∠CEA=90°．
∵PD=PE，
∴∠CEA=∠PED=∠PDE．
∴∠ODE+∠PDE=90°．
即PD是⊙O的切線．

（2）解：①設(shè)PC與⊙O交于F點(diǎn)，連接OF，
∵PC⊥AB，
∴在Rt△CFO中，CF=

OF2-OC2

．
∵⊙O的半徑為4，OC=x，
∴CF=

16-x2

．
∵PD²=（8+

16-x2

）（8-

16-x2

）=48+x²
∴y=x²+48．
②當(dāng)x=1時(shí)，y=49，即PD=PE=7，OC=1，
∴EC=1，AC=3．
∴tan∠BAD=

EC

AC

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定以及切割線定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．