Question

（2013•東城區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，∠AED=2∠CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)．
（1）求證：∠CED=∠DAG；
（2）若BE=1，AG=4，求sin∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CED=∠ADE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DAG=∠ADE，從而得證；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠DAG，然后求出∠AED=∠AGE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=AG，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE，
又∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，
∴AG=DG，
∴∠DAG=∠ADE，
∴∠CED=∠DAG；

（2）在△ADG中，∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠DAG，
又∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG，
∵AG=4，
∴AE=4，
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=

AE2-BE2

=

42-12

=

15

，
∴sin∠AEB=

AB

AE

=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．