Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C是二次函數(shù)y＝mx2＋4mx＋4m＋1的圖象的頂點(diǎn)，一次函數(shù)y＝x＋4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．

（1）請(qǐng)你求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)y＝mx2＋4mx＋4m＋1與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（－4，0）和B（0，4）；（2）或

【解析】

（1）拋物線解析式配方后，確定出頂點(diǎn)C坐標(biāo)，對(duì)于一次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)；

（2）分m＞0與m＜0兩種情況求出m的范圍即可．

解：（1）y＝mx2＋4mx＋4m＋1＝m（x＋2）2＋1，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（－2，1），

對(duì)于y＝x＋4，令x＝0，得到y＝4；y＝0，得到x＝－4，

直線y＝x＋4與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，0）和B（0，4）；

（2）把x＝－4代入拋物線解析式得：y＝4m＋1，

①當(dāng)m＞0時(shí)，y＝4m＋1＞0，說明拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)總與線段AB有交點(diǎn)，

∴只需要拋物線右側(cè)與線段AB無交點(diǎn)即可，

如圖1所示，

只需要當(dāng)x＝0時(shí)，拋物線的函數(shù)值y＝4m＋1＜4，即，

則當(dāng)時(shí)，拋物線與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)m＜0時(shí)，如圖2所示，

只需y＝4m＋1≥0即可，

解得：，

綜上，當(dāng)或時(shí)，拋物線與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)．