Question

【題目】中點、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見的幾何圖形！
（1）如圖1，若點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°，連接AD、EF，當BC=5 ，F(xiàn)C=2時，求EF的長度；

（2）如圖2，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且∠EDF=90°；M為EF的中點，連接CM，當DF∥AB時，證明：3ED=2MC；

（3）如圖3，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且∠EDF=90°；當BE=6，CF=0.8時，直接寫出EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1

∵點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點

∴AD⊥BC，AD= BC=CD= ，∠DAE=∠C=45°

∴AC= CD=5

又∵∠EDF=90°，F(xiàn)C=2

∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（ASA）

∴AE=CF=2

∴在Rt△AEF中，EF= =

（2）解：設(shè)等邊三角形邊長為2a，則BD=CD=a，

∵等邊三角形ABC中，DF∥AB

∴∠FDC=∠B=60°

∵∠EDF=90°

∴∠BDE=30°

∴DE⊥BE

∴BE= a，DE= a，

如圖2，連接DM，

則Rt△DEF中，DM= EF=FM

∵∠FDC=∠FCD=60°

∴△CDF是等邊三角形

∴CD=CF=a

∴CM垂直平分DF

∴∠DCN=30°

∴Rt△CDN中，DN= a，CN= a，DF=a

∴在Rt△DEF中，EF= a= a

∵M為EF的中點

∴FM=DM= a

∴Rt△MND中，MN= = a

∴CM= + = a

∴ = = a

∴3ED=2MC；

（3）解：如圖3，延長FD至G，使得FD=DG，連接EG，BG，

則ED垂直平分FG，故EF=EG

∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF

∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8

∴∠EBG=60°+60°=120°

∴∠EBH=60°

過E作EH⊥BG于點H，則BH= BE=3

∴Rt△BEH中，HE= =3

∴Rt△EHG中，EG= =

∴EF的長度為

【解析】（1）根據(jù)已知條件點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，可求出AD、AC的長，再證明△ADE≌△CDF，就可以求出AE的長，再在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可求得EF的長。
（2）設(shè)等邊三角形邊長為2a，則BD=CD=a，由已知條件易證得DE⊥BE，求出BE的長，連接DM，易證△CDF是等邊三角形，根據(jù)CM垂直平分DF，求出CN的長，在Rt△MND中求得MN的長，然后求出CM與DN的長度之比，即可得出結(jié)論。
（3）根據(jù)題意，可添加輔助線延長FD至G，使得FD=DG，連接EG，BG，可得ED垂直平分FG，再證明△BDG≌△CDF，就可以求出BG的長和∠EBG、∠EBH的度數(shù)，由∠EBH=60°，過E作EH⊥BG于點H，然后在Rt△BEH中、Rt△EHG中就可求出EF的長。
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．