Question

如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形ABCD滿(mǎn)足一個(gè)什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中位線的判定GH=EF=

1

2

AB，EH=FG=

1

2

CD，所以四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）根據(jù)菱形的判定，四邊都相等的四邊形是菱形，只要證明EF=FG=GH=HE就可以了，這就需要AB=CD這個(gè)條件．

解答：（1）證明：∵E、F分別是AD，BD的中點(diǎn)，G、H分別中BC，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB；GH∥AB，GH=

1

2

AB．（2分）
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2分）

（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．（1分）
理由：∵E、F分別是AD，BD的中點(diǎn)，H，G分別是AC，BC的中點(diǎn)，G、F分別是BC，BD的中點(diǎn)，E，H分別是AD，AC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

AB，HG=

1

2

AB，F(xiàn)G=

1

2

CD，EH=

1

2

CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH．
∴四邊形EFGH是菱形．（3分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三個(gè)判定：平行四邊形的判定、菱形的判定、中位線的判定，牢記這幾個(gè)判定，解此類(lèi)問(wèn)題就輕而易舉了．